17: acqua su una nuvola

[phyknight]

Consideriamo una nuvola come un insieme di tante gocce (sferiche) sospese nell'aria (distribuite uniformemente e a riposo).
Ad un certo punto cade una goccia d'acqua sulla nuvola (quindi sull'insieme di gocce sospese). Ogni volta che la goccia colpisce una goccia della nuvola a riposo, le due gocce si uniscono.
Le gocce sono da considerarsi sempre sferiche, e gli urti (che sono anelastici) sono istantanei (e sono istantanee anche le unioni tra gocce).
Qual è l'accelerazione della goccia che cade nella nuvola?

Hint: il risultato è solo in funzione di

[andrea96]

dico subito che la mia soluzione potrebbe essere una boiata pazzesca perchè non ho capito se devo considerare l'accelerazione della goccia costante, cioè se il problema dice trova il valore dell'accelerazione e non la sua funzione temporale. A me è sembrato che dal testo del problema si deduceva che la costanza della goccia vada assunta come ipotesi anche perchè se va dimostrato dico subito di non avere in mente alcun metodo per dimostrarlo che non sia: mi sembra che sia così da considerazioni abbastanza qualitative...
Comunque consideriamo questa goccia di raggio che al tempo ha massa e velocità .
Il sistema su cui andiamo a ragionare è quello costituito dalla goccia di massa e dalla "massa di nuvola"




che la goccia ingloba nel tempo , dove è la densità della nuvola che per curiosità potremmo dire che è uguale a quella dell'aria per far stare la nuvola in equilibrio. Assumeremo che la dinamica dell'inglobazione ( che non so se sia un termine esistente ) sia tale che la parte di nuvola inglobata aumenti la massa della goccia ma non il suo raggio, cioè l'unione delle gocce corrisponde a un aumento di massa e basta.Questo fatto potrebbe essere giustificato "molto alla buona" dicendo che il vapore acqueo presente nella nuvola al contatto con la goccia condensa e diminuisce di moltissimo il suo volume che quindi è trascurabile rispetto a quello della goccia.
Ora:



dove abbiamo trascurato la spinta di archimede dell'aria perchè la densità dell'acqua è molto maggiore di quella dell'aria.
Quindi trascurando il termine proporzionale a perchè è un infinitesimo di ordine maggiore a tutti gli altri si ottiene:



Ora il problema è il ... si potrebbe integrare tra e ma ci si porterebbe appresso un integrale perchè non conosciamo la funzione . Allora deriviamo rispetto al tempo l'ultima equazione e si trova ( considerando costante:



Ma considerando che
si trova:


Se la soluzione sarà sbagliata probabilemnte sarà per aver trascurato la variazione di volume della goccia, tenendone conto il procedimento resterebbe più o meno lo stesso bisognerebbe solo introdurre la derivata di r rispetto a t che allungherebbe di moltissimo i conti...

[phyknight]

Il risultato non è giusto...e il perché lo hai capito anche da solo

per aver trascurato la variazione di volume della goccia

Le gocce nella nuvola sono d'acqua, quindi la densità di tutte le gocce è sempre la stessa. Non devi giustificare perché le gocce sono in equilibrio...lo assumi e basta per il problema (che è un modello molto semplificato ma è sempre un modello). Poiché la densità dell'acqua è costante, direi che non puoi considerare il volume costante se le gocce si sommano.

bisognerebbe solo introdurre la derivata di r rispetto a t che allungherebbe di moltissimo i conti

no, se fatti in modo furbo i conti non si allungano(solo alla fine c'è qualcosa in più da calcolare...sempre però in modo furbo )
E poi

se devo considerare l'accelerazione della goccia costante

si, l'accelerazione è costante per motivi di "simmetria" nel senso che se sta" un po' più su" nella nuvola o "un po' più giù" le due situazioni sono identiche, e quindi l'accelerazione è costante...come dicevi tu, da considerazioni qualitative

[andrea96]

ti dico la verità... mi sono accorto che il volume della goccia doveva variare dopo aver scritto la soluzione quando stavo per pubblicarla allora visto che ero arrabbiato per aver sprecato tempo a scrivere la soluzione ho aggiunto i pezzi

Questo fatto potrebbe essere giustificato "molto alla buona" dicendo che il vapore acqueo presente nella nuvola al contatto con la goccia condensa e diminuisce di moltissimo il suo volume che quindi è trascurabile rispetto a quello della goccia

e

Se la soluzione sarà sbagliata probabilmente sarà per aver trascurato la variazione di volume della goccia, tenendone conto il procedimento resterebbe più o meno lo stesso bisognerebbe solo introdurre la derivata di r rispetto a t che allungherebbe di moltissimo i conti

e l'ho pubblicata lo stesso sperando che per caso anche chi ha scritto la soluzione di questo problema aveva trascurato l'aumento di volume ( anche se è evidente che non è sensato trascurarlo ). Comunque penso che per il resto l'impostazione sia corretta quindi se domani riesco a trovare il metodo furbo che dici tu per evitare di impostare le condizioni in moto bruto sulla variazione di volume ( che probabilmente porterebbero lo stesso al risultato ma impestano talmente tanto il problema e sono talmente poco intelligenti e troppo meccaniche che mi rifiuto di fare il problema in quel modo, anche perchè sarebbe più da ingegnere che da fisico ) cercherò di modificare la soluzione, se devo farla col metodo bruto preferisco aspettare che posti qualcun altro il metodo per la condizione di aumento di volume...

[Simone256]

si, l'accelerazione è costante per motivi di "simmetria" nel senso che se sta" un po' più su" nella nuvola o "un po' più giù" le due situazioni sono identiche, e quindi l'accelerazione è costante...come dicevi tu, da considerazioni qualitative

Scusa ma non ho capito bene sto passaggio

[andrea96]

consideriamo questa goccia che al tempo ha raggio , massa e velocità .
Il sistema su cui andiamo a ragionare è quello costituito dalla goccia di massa e dalla "massa di nuvola"




che la goccia ingloba nel tempo , dove è la densità della nuvola.
Ora:




Quindi trascurando il termine proporzionale a perchè è un infinitesimo di ordine maggiore a tutti gli altri si ottiene:



Ora siamo costretti a fare delle considerazioni su : nel tempo nel quale la goccia ingloba la massa , questa ha anche un volume , ma visto che a noi serve qualcosa su e non su facciamo la considerazione che



da cui:

ora derivando rispetto al tempo entrambe i membri di



e inserendo le funzioni e nell'espressione si ottiene



Ora derivando di nuovo si ottiene



considerando il raggio variabile mi è venuto in mente solo questo, che però non mi sembra affato un idea furba come dicevi tu quindi ho paura di aver sbagliato di nuovo. Anche se non capisco in quale parte del procedimento ci sia la falla.

[OrsoBruno96]

Andrea, sono d'accordo con quello che scrivi, ma solo se partiamo dall'assunzione che a sia costante, che non mi sembra così ovvia

avevo pensato di impostare il problema in modo generale, ovvero senza imporlo, per vedere se effettivamente l'accelerazione dopo poco tende ad un valore fisso, ma mi viene un'equazione differenziale bruttissima che non ho ancora provato a risolvere ma mi sembra piuttosto impestata

c'è quindi un modo per spiegarlo in maniera convincente?

[andrea96]

Andrea, sono d'accordo con quello che scrivi, ma solo se partiamo dall'assunzione che a sia costante, che non mi sembra così ovvia

avevo pensato di impostare il problema in modo generale, ovvero senza imporlo, per vedere se effettivamente l'accelerazione dopo poco tende ad un valore fisso, ma mi viene un'equazione differenziale bruttissima che non ho ancora provato a risolvere ma mi sembra piuttosto impestata

c'è quindi un modo per spiegarlo in maniera convincente?

si infatti era il primo problema che mi ero posto io al primo post, perchè da come è impostato il problema sembra dire: se assumiamo che sia costante trova il suo valore.
dimostrarlo come hai detto tu non è per niente semplice, e non sono nemmeno troppo convinto che sia davvero costante.
Mi sembra che tu abbia tentato di dimostrare che l'accelerazione sia asintotica e quindi il problema viene svolto per valori molto molto vicini a tale valore asintotico. In quel caso la situazione sarebbe un po piu reale.
Anche io come simone non ho capito minimamente la spiegazione di phyknight.... vorrei anch'io capire se esiste una spiegazione che non passi per complicatissime equazioni differenziali...

[andrea96]

dimmi che ne pensi di questo ragionamento:
l'equazione per è chiaramente
perchè per arrivare a questa non ho mai utilizzato l'ipotesi che .
Ora visto che per la massa e il raggio valgono lo stesso quelle equazioni, cioè e visto che come per quell'altra per ricavarle non sia usa assolutamente l'ipotesi di accelerazione costante. Allora risulta evidente che la prima equazione che ho scritto è un equazione per visto che le altre funzioni che compaiono dipendonono da questa.
Adesso io non so ( perchè non ci ho provato ) se facendo un determinato numero di derivazioni quell'equazione si trasforma in un equazione differenziale per , però certamente scritta così è un equazione integrale.
Se io vado a ricercare una soluzione nella forma dove è una costante, ottengo il risultato per ( cioè ) di conseguenza io so che è una soluzione dell'equazione per . Non so se ce ne sono altre ( e questo mi sembra parecchio duro da verificare ) però so certamente che il mettere accelerazione costante funziona. Ora però si pone un altro problema, l'accelerazione deve avere quel valore anche all'istante iniziale, ciò significa che il tutto va bene se la goccia non cade sulla nuvola come una particella in un campo gravitazionale ma deve essere forzata ad avere quell'accelerazione e poi viene lasciata in balia della nuvola. Poi ci si può porre la domanda: e se cambiamo le condizioni iniziali dicendo che all'inizio l'accelerazione è g? allora bisogna trovare la soluzione generale di quell'equazione intergale e imporre quella condizione iniziale, ma per fare questo ci vuole per lo meno la nazionalità cinese!

[phyknight]

Per prima cosa scusate per il problema, che, pensandoci, fa un po' schifo

Fatto1

Scusa ma non ho capito bene sto passaggio

Anche io come simone non ho capito minimamente la spiegazione di phyknight....

non avete capito perché non c'è nulla da capire quello che ho scritto non ha senso...era un modo per dire: pensandoci un po' può venire in mente che l'accelerazione rimane costante...ma in realtà quando io ho risolto il problema non mi sono posto il problema dell'accelerazione...l'ho evitato in un modo che non piacerà a nesuno...che tra un attimo vedrete(e poi non so se questo modo si possa considerare effettivamente corretto...)

Fatto2
Andrea, la tua soluzione è giusta, e quindi vai avanti con un altro problema

Fatto3
L'accelerazione è costante.

c'è quindi un modo per spiegarlo in maniera convincente?

credo di no, come già avrete capito anche voi...però ho un modo non convincente per spiegarlo.
E' per questo che avevo messo l'hint che diceva che l'accelerazione era indipendente dal tempo

Fatto4
come densità se ho capito bene avete considerato che quella delle gocce e quella della nuvola sono le stesse; io le avevo poste diverse ma comunque alla fine si semplificavano, quindi in quello che scrivo ora le considero uguali(tanto viene lo stesso risultato) così non creo ancora più confusione

Fatto5
L'ultima soluzione proposta da andrea è più simile alla mia, quindi parto da quella per provare a spiegare come ho risolto(?) la questione dell'accelerazione.
Prendo e divido tutto per m, quindi viene

Ora non sostituisco , ma (dalla stessa relazione) e quindi
cioè
Questa non so risolverla (non so neanche se esista un modo sensato per risolverla, ho provato a porre la derivata uguale a una funzione di r ma niente...), quindi (e qui temo per la mia incolumità) proseguo con l'analisi dimensionale
Nell'equazione compare solo , quindi di cosa può essere funzione il nostro ? Di e di !!!
Quindi, per analisi dimensionale dove è una costante numerica
Sostituendo nell'equazione trovo , quindi trovo , e poi trovo e che mi viene indipendente da

che ne pensate?