Rivolgendomi a Torros: mi preme far notare come la tua risposta sia molto interessante, nonché utile - come primo approccio - per capire quale forma debba avere la soluzione finale e quali rapporti sussistano tra le forze agenti sul sistema fisico, tuttavia si tratta - a mio modesto parere - di una soluzione che presuppone già a monte l'acquisizione del risultato finale, come dimostrano alcuni passaggi non chiarissimi. Infatti, poco convincente risulta l'ipotesi per la quale
, non supponibile da alcuno degli elementi forniti dal testo del problema, e conseguentemente è da ritenersi dubbia anche l'approssimazione
^2)
. Faccio presente, inoltre, come nella medesima risposta tu abbia erroneamente riportato l'intero modulo della velocità
della sferetta nel punto
, ovvero
^2}\bigg]-2gr})
, somma vettoriale della componente orizzontale
e di quella verticale
, mentre - come ha giustamente notato James - bisogna considerare solo quest'ultima per il calcolo dell'accelerazione e della forza centripete:
}-2gr})
: si tratta solo di un'osservazione a rigore, dal momento che sicuramente intendevi considerare tale componente, dunque di importanza solo relativa.
Date tali premesse, provo a presentare la mia personale soluzione, nella speranza che risulti convincente.
La forza centripeta (o centrifuga, a seconda del sistema di riferimento con cui l'osservatore scelga di essere solidale)
favorisce una accelerazione del sistema tubo-carrello + sferetta, tale che:
a)
)
,
con
accelerazione del sistema.
Infatti, la pallina di massa
, introdotta dentro il tubo con velocità iniziale
, tende a proseguire il suo moto lungo il tratto rettilineo; incontrando il tratto a forma di semicirconferenza, e arrivando per la prima volta in
, essa tende quindi ad esercitare una forza
sul tubo che, producendo un'accelerazione
, permette il movimento del sistema carrello-tubo, di massa
. Dunque:
)
Il tubo di massa
risponderà a tale forza con una reazione d'inerzia
, di uguale modulo e verso opposto a quella esercitata dalla sferetta sul tubo, applicata alla medesima pallina di massa
: la massa
avvertirà un'accelerazione di pari modulo e verso opposto a quella generata da
, sotto l'azione della forza centripeta (o centrifuga)
e della reazione
ad essa opposta. Per la seconda equazione della dinamica:
)
Mettendo a sistema le due equazioni
e
:
Poiché
, allora si può scrivere il sistema come:
Infatti, sommando membro a membro la
e la
, si ottiene
, che costituisce l'ipotesi
di partenza.
La forza centripeta
è uguale, come si è visto, a:
} -2mg)
. Uguagliando tale relazione alla
, si ha:
} -2mg = (m+M)a)
. Da qui, è possibile ottenere
:
} -2g\bigg])
Sostituendo tale valore di
nella
, si ha:
} -2g\bigg])
Ponendo, per semplicità,
, e dividendo, nella
, numeratore e denominatore per
, si ha:
} -2g\bigg])
. Dunque, in definitiva:
^2} -\frac{2m}{1+\alpha}g})
, che rappresenta la soluzione ufficiale fornita dal Rosati.
: si tratta solo di un'osservazione a rigore, dal momento che sicuramente intendevi considerare tale componente, dunque di importanza solo relativa.
, che rappresenta la soluzione ufficiale fornita dal Rosati.
