Rotazione attorno ad un perno

[michele95]

Su un piano orizzontale ruota con attrito trascurabile attorno ad un piccolo perno una sferetta trattenuta da un filo inestensibile. In questa configurazione man mano che la sfera ruota il filo si avvolge attorno al perno. Quanto sarà la velocità angolare della sferetta quando essa si troverà ad una distanza dal perno ?

Questo è l' n-esimo problema (tra problemi di ammisione in scuole di eccellenza, almeno un Senigallia, problemi su libri di testo, ecc...) che gli autori nella loro soluzione risolvono usando la conservazione del momento della quantità di moto (modo, a mio parere, sbagliato). Per avere la conferma di non essere totalmente pazzo, chiedo a voi di provare a fare lo stesso ragionamento che ho fatto io.

a) Una volta risolto il problema come vogliono gli autori, non notate nulla nel risultato che viola vistosamente un'importante legge fisica?

b) Se sì riuscite a capire, analizzando le forze in gioco, perché non si poteva usare la conservazione dello spin?

c) Riuscite a mostrare con un ragionamento semi-qualitativo che, a parità di e , l'errore che si commette stimando lo spin costante è indipendente dalle dimensioni del piolo? (senza usare le considerazioni del punto a)

[bozzio]

Premetto di non sapere cosa sia la conservazione dello spin, ad ogni modo perché è errata la conservazione del momento angolare?

[Gabry]

Mi sembra difficile che in tutti questi contesti diversi si possa trovare un errore sistematico. Se le dimensioni del perno sono trascurabili e non ci sono attriti allora non ci sono momenti netti (la reazione vincolare produce momento nullo prendendo come origine del sistema di riferimento il perno) quindi il momento angolare si conserva.
Se ho intuito bene,cioe' la legge che tu credi sia violata e' l' energia, ti posso dire che ti sbagli infatti la reazione vincolare compie un lavoro non nullo.

[michele95]

A Bozzio: per spin intendevo momento angolare.

[michele95]

A Gabry:
Mi sfugge come una reazione vincolare possa compiere un lavoro, proprio perché essa è limitata ad agire (avere il punto di applicazione) su una superficie fissa (credo che tu dicessi quella del perno). Ora, dato che la forza (dato che non ci sono attriti) è normale alla superficie su cui si può spostare l'altro corpo (la fune o qualunque altra cosa), la reazione vincolare non può compiere un lavoro. Probabilmente, o non ho capito cosa intendevi, o mi sfugge qualcosa. Potresti spiegarmi meglio quello che intendi?

Comunque ammettiamo pure che il lavoro sia svolto dalla reazione vincolare. Quanto lavoro devi compiere per srotolare il filo e riportare la sferetta nella posizione iniziale? Se vuoi che il tuo ragionamento funzioni mi devi dare un valore che sia strettamente maggiore di zero, nonché uguale alla differenza di energia cinetica della sferetta.

[Gabry]

Mi sfugge come una reazione vincolare possa compiere un lavoro

Scusami scrivevo dal cellulare e mi sono espresso male, la forza che compie il lavoro è la tensione (in questo senso reazione vincolare, se fosse stata un'asta) in quanto il punto di applicazione (la pallina) nel sistema solidale al perno si sposta. Il lavoro compiuto e la differenza di energia cinetica sono quindi scritta meglio cioè risolvendo l'equazione differenziale si ottiene che è proprio la conservazione del momento angolare.
E' normale che possa venire il dubbio, tuttavia trattare analiticamente la situazione non è sempre facile come in questo caso, quindi quando ci sono i presupposti affinchè si conservi il momento angolare fidati di quello, non rischiare di lasciare un problema in bianco per un dubbio che sebbene lecito con solide basi di teoria dovrebbe essere risolto (nel senso sapere che se il momento netto agente è nullo allora in ogni caso si conserva il momento angolare).

[michele95]

Non hai risposto alla domanda sul lavoro!

[michele95]

Proprio perché non è facile trattare la situazione analiticamente facciamo qualche considerazione globale sull'energia. Prova a rispondere alla domanda sul lavoro...

[Gabry]

Non hai risposto alla domanda sul lavoro!

L=T\Delta r

[michele95]

Comunque ammettiamo pure che il lavoro sia svolto dalla reazione vincolare. Quanto lavoro devi compiere per srotolare il filo e riportare la sferetta nella posizione iniziale? Se vuoi che il tuo ragionamento funzioni mi devi dare un valore che sia strettamente maggiore di zero, nonché uguale alla differenza di energia cinetica della sferetta.

Intendevo il lavoro che ti serve per srotolare il filo e riportare tutto allo stato iniziale. Forse mi ero espresso male...