sns 2012 n.1

[Bolzo88]

Posto i calcoli come avevo detto:
1) L'energia della sfera isolata vale quella del satellite isolato (trascurando la sfera date le sue dimensioni) dopo l'impatto vale quindi dalla conservazione dell'energia: trascurando l'energia cinetica residua considerando il satellite fermo. Essendo R>>r l'energia finale del satellite è trascurabile quindi abbiamo

2) Essendo il sistema isolato il momento angolare totale si conserva quindi (nel momento di inerzia si è trascurato quello della sfera dopo l'urto date le sue piccole dimensioni. Quindi (di questa quantità come ho detto precedentemente non si può essere sicuri che sia piccola). Dalla conservazione dell'energia trascurando nuovamente E2 abbiamo

Negli altri due punti discussi in precedenza non erano necessari calcoli.

Confermo tutto, mi torna.

[modesto]

P.S. ammettiamo pure di poter assumere che il satellite non ruoti, cioè la sferetta non compia lavoro per spostare le cariche (mi pare che tu stia considerando questa ipotesi) o almeno approssimiamo che la velocità della sferetta sia talmente piccola che la velocità angolare acquistata dal satellite resti molto piccola allora effettivamente la sferetta se si sposta più di 90° non impatterà il satellite, ma entrerà in un orbita ellittica (il che non aggiunge nulla alla mia spiegazione qualitativa se non quantià non richieste su cui non sono d'accordo sul metodo con cui sono state ottenute), tuttavia non mi convince il modo con cui hai calcolato il tempo

Ribadisco che siccome v deve essere piccola nonostante d, il dato M>>m impedisce un'apprezzabile rotazione del satellite. Comunque, ammesso anche che ci fosse, sei d'accordo o no che il momento angolare della sfera rispetto al centro del satellite si debba conservare? Non lo puoi negare perchè la forza attrattiva agente sulla sfera passa sempre per il centro del satellite, che esso ruoti o meno. Quindi la sua velocità ortogonale alla congiungente aumenta al diminuire della sua distanza e raggiunge il massimo quando arriva ad R+r. Ovviamente quest'aumento è compensato dalla diminuzione del momento d'inerzia. Per impattare non deve aver percorso più di un quarto di circonferenza di raggio R mettendosi nella condizione più sfavorevole che avesse avuto sempre questa velocità massima per tutto il tempo. A quest'ultimo proposito sono sicuro che non hai letto la mia soluzione. Infatti come può essere contestato che il moto della sfera rispetto al satellite lungo la congiungente (moto radiale) rimane lo stesso rotazione o non rotazione. Si verifica la conservazione dell'energia della sfera rispetto al satellite. Inizialmente questa energia è praticamente nulla e quindi l'energia cinetica a una qualunque distanza x dal satellite è uguale all'energia potenziale a quella distanza cambiata di segno. Da questa uguaglianza si deduce la velocità radiale (dx/dt) della sfera rispetto al satellite e il suo inverso (dt/dx) da dove integrando separando le variabili con un semplicissimo integrale si ricava t(x) e quindi t(R+r) dell'intero processo. Cosa c'è che non ti convince? Dimmelo. Inoltre non ho bisogno di avventurarmi in quello che succederebbe sulle traiettorie ellitiche (io non ne sarei sicuro giacchè per es. la forxza a distanza d con quelle condizioni non è più l'inverso del quadrato).

Secondo me la domanda richiedeva semplicemente una risposta qualitativa e anche se così non fosse non vedo perchè si debba trascurare il lavoro compiuto dalla sferetta nello spostare le cariche sul satellite dato che è presente una certa resistività.

Perchè quello che tu chiami lavoro per spostare le cariche nel satellite è già insito nell'espressione dell'energia potenziale della sfera che voi non prendete neppure in considerazione e che dipende infatti DALLE CARICHE IMMAGINE E DALLA LORO DISTANZA dalla sferetta. Quando la sfera avanza di un certo tratto l'energia potenziale della sfera diminuisce proprio sia perchè si avvicina, sia per questo lavoro (variazione di !)
Infine il solito commento ormai brevissimo e per l'ultima volta sulle tue soluzioni. Fanno riferimento alle energie di conduttori sferici carichi isolati. Non compare la resistività. Per cui la soluzione che voi proponete va bene a prescindere da essa: del satellite può essere praticamente nulla(superconduttore) o alta (semiconduttore) e per voi il calore dissipato è sempre lo stesso!
Io non posso essere d'accordo con questa impostazione che si fonda sul fatto che, come avete spiegato, il dato ci sarebbe stato messo solo per disorientare i concorrenti (come nei quiz televisivi) ma che non occorreva per risolvere il problema. Ci può essere un testo sbagliato ma io credo che per accertare le capacità di uno non ci sia bisogno di questi trucchi ma di fair play (che salvo prova contraria ritengo caratterizzino gli sns, che pure talvolta possono apparire ambigui o oscuri).

[Gabry]

sei d'accordo o no che il momento angolare della sfera rispetto al centro del satellite si debba conservare?

Assolutamente no la sfera deve spostare le cariche compiendo un lavoro (e questo non è dato semplicemente dalla variazione di energia potenziale proprio perchè è presente la resistività! se non fosse presente allora effettivamente il fatto che le cariche si spostino sarebbe compensato da una variazione di energia potenziale elettrica, ma in questo caso serve altro lavoro in più per compensare il calore dissipato per effetto joule dallo spostamento delle cariche) la cui forza non ha solo componente radiale ma anche tangenziale. In poche parole puoi considerare le cariche come un liquido contenuto nel satellite che viene posto in rotazione dalla forza attrattiva della sferetta: se è presente attrito tra il liquido e il satellite (la resistività) allora il satellite inizierà a girare, ma allora la sferetta perderà necessariamente energia: in definitiva essendo un sistema isolato si conserva il momento angolare totale (e se il satellite inizia a girare è ovvio che il momento angolare della sferetta non può conservarsi). Quindi non è assolutamente vero che la resistività non viene usata, non viene usata numericamente ma è un fattore chiave nella risoluzione del problema.
Per il fatto del tempo: il tempo è necessariamente vincolato alla resistività, infatti lo spostamento di cariche INCONTRA UNA CERTA RESISTENZA che fa si che non sia solamente l'energia potenziale elettrica ad essere in gioco (sarebbe così semplicemente per spostare le cariche, ma non per giustificare il calore perduto per effetto joule) in poche parole la resistenza rallenta il processo di caduta (e mi pare che il tempo che hai trovato sia indipendente dalla resistenza) dovendo necessariamente essere compiuto lavoro extra che va a trasformarsi in calore. Quello che tu dici (cioè la dipendenza dalla resistività del processo) credi che debba essere presente nel bilancio finale (e non è così ho anche fatto un esempio analitico qualche post fa con una determinata situazione analoga ossia il calore disperso per effetto joule in una barra), mentre non la consideri dove influisce veramente cioè il tempo di caduta.
Inoltre tu dici che non usiamo la resistività (e ti ho dimostrato che non è così, non la usiamo numericamente perchè non fa differenza ma dal punto 2 in poi è necessaria per la comprensione del problema) ti ricordo che nel problema postato a settembre sui pallini che venivano deviati (un giorno di questi visto che il testo ufficiale è leggermente diverso da quello postato dovrò aggiorare la mia soluzione) era fornita la densità del ferro (addirittura veniva fornito un valore numerico, non veniva semplicemente chiamata come la resistività nel nostro caso) e non ne accennavi minimamente.

P.s. la velocità della sferetta è piccola (per i motivi che abbiamo discusso ossia fare in modo che la sferetta non entri in orbita, una qualsiasi, non impattando così il satellite) non molto piccola rispetto alle grandezze in gioco, quindi non trascurabile. (ad esempio una velocità di 1 cm/s è "piccola" ma se le altre grandezze sono ad es. carica q 1x10^-6 C massa sferetta 100g, massa satellite 100Kg, distanza d 1000 km raggio sferetta 1 cm, raggio satellite 100 m allora la velocità non è trascurabile).

[Pigkappa]

Io non posso essere d'accordo con questa impostazione che si fonda sul fatto che, come avete spiegato, il dato ci sarebbe stato messo solo per disorientare i concorrenti (come nei quiz televisivi) ma che non occorreva per risolvere il problema. Ci può essere un testo sbagliato ma io credo che per accertare le capacità di uno non ci sia bisogno di questi trucchi ma di fair play (che salvo prova contraria ritengo caratterizzino gli sns, che pure talvolta possono apparire ambigui o oscuri).

Come prova contraria basta l'esperienza di chi è in Normale da 4 o 5 anni come me e il Bolzo?

Ci sono professori che fanno di tutto per fregarti in modi che con il fair play non hanno nulla a che fare: ti fanno pressione durante gli esami (è stato detto perfino "rispondi velocemente o ti buttiamo fuori"), ti danno problemi in cui non ci sono scritti i dati a disposizione e bisogna capirli con molta fantasia, ti danno problemi con multiple interpretazioni possibili e poi dicono che lo studente doveva capire qual era la più ragionevole, ti vietano di usare la matita durante certe prove scritte inventandosi che ci siano regole al riguardo e strappandoti i fogli in cui hai scritto a matita per sbaglio (l'ho visto succedere)...

La soluzione di Bolzo mi sembra giusta.

[Gabry]

Ci sono professori che fanno di tutto per fregarti in modi che con il fair play non hanno nulla a che fare: ti fanno pressione durante gli esami (è stato detto perfino "rispondi velocemente o ti buttiamo fuori"), ti danno problemi in cui non ci sono scritti i dati a disposizione e bisogna capirli con molta fantasia, ti danno problemi con multiple interpretazioni possibili e poi dicono che lo studente doveva capire qual era la più ragionevole, ti vietano di usare la matita durante certe prove scritte inventandosi che ci siano regole al riguardo e strappandoti i fogli in cui hai scritto a matita per sbaglio (l'ho visto succedere)...

E siete sopravvissuti? Pensavo che i testi dei problemi fossero generalmente poco chiari per non curanza non per questo piacere sadico

[modesto]

2) Essendo il sistema isolato il momento angolare totale si conserva quindi (nel momento di inerzia si è trascurato quello della sfera dopo l'urto date le sue piccole dimensioni. Quindi (di questa quantità come ho detto precedentemente non si può essere sicuri che sia piccola). Dalla conservazione dell'energia trascurando nuovamente E2 abbiamo

Negli altri due punti discussi in precedenza non erano necessari calcoli.

Sono felice che siate tutti d'accordo e spero di esserlo anch'io un giorno... Mi potresti spiegare la conservazione del momento angolare che tu condividi? Io pensavo che semmai si conservasse il momento angolare del sistema rispetto al comune baricentro e che quindi la rotazione avvenisse da parte dei due centri attorno al medesimo e con la stessa velocità angolare per rimanere allineati. Ma in questo caso la sferetta avrebbe impattato nel punto di prima. Per mettere in rotazione il satellite attorno al proprio centro, come mi pare intenda Gabry, non occorre un sistema di forze esterne al satellite che abbia momento rispetto ad un suo asse centrale?
Oppure lui intende conservazione nell'urto anelastico? In questo caso il satellite starebbe fermo fino all'urto e poi inizierebbe a ruotare? Perdonami per queste domande ma avevo visto il problema da tutt'altro punto di vista.

[modesto]

Io non posso essere d'accordo con questa impostazione che si fonda sul fatto che, come avete spiegato, il dato ci sarebbe stato messo solo per disorientare i concorrenti (come nei quiz televisivi) ma che non occorreva per risolvere il problema. Ci può essere un testo sbagliato ma io credo che per accertare le capacità di uno non ci sia bisogno di questi trucchi ma di fair play (che salvo prova contraria ritengo caratterizzino gli sns, che pure talvolta possono apparire ambigui o oscuri).

Come prova contraria basta l'esperienza di chi è in Normale da 4 o 5 anni come me e il Bolzo?

Ci sono professori che fanno di tutto per fregarti in modi che con il fair play non hanno nulla a che fare: ti fanno pressione durante gli esami (è stato detto perfino "rispondi velocemente o ti buttiamo fuori"), ti danno problemi in cui non ci sono scritti i dati a disposizione e bisogna capirli con molta fantasia, ti danno problemi con multiple interpretazioni possibili e poi dicono che lo studente doveva capire qual era la più ragionevole, ti vietano di usare la matita durante certe prove scritte inventandosi che ci siano regole al riguardo e strappandoti i fogli in cui hai scritto a matita per sbaglio (l'ho visto succedere)...

La soluzione di Bolzo mi sembra giusta.

Sono contento che finalmente sei intervenuto. Avevo scritto in un post che, se la soluzione di Bolzo e Gabry era quella giusta, auspicavo, prima di recarmi al test, che qualcuno mi spiegasse se nel satellite ci fosse o no dissipazione visto il movimento degli elettroni di conduzione determinato dall'induzione e vista la resistività del materiale fornita dal testo famigerato.
Perchè, se capisco la loro soluzione, l'energia dissipata in calore è sempre la stessa QUALUNQUE sia il materiale, super o semi conduttore, che costituisce il satellite. Come è possibile? Forse, come dice Gabry, il lavoro fatto dalla sferetta per spostare le cariche di induzione non è compreso come pensavo io nella sua diminuzione (oltre che per la distanza anche per spostare le cariche). In altre parole se si dissipa di più sul satellite - alta- si dissipa meno nell'urto perchè l'Ec è minore avendo compiuto più lavoro nell'induzione e viceversa tanto da rendere costante e indipendente dalla resistività il calore dissipato.
Se così fosse però non avrei più dubbi sulla malafede nel DNA degli estensori dei testi. Come ho fatto a essere così ingenuo da mitizzare gli operatori della Normale?

[Gabry]

Sicuramente il satellite dopo l'urto ruota attorno al suo centro e si conserva il momento angolare totale del sistema (e questo nel punto due bastava, non importa quanta velocità angolare avesse il satellite prima dell'urto la restante l'avrebbe acquisita con l'urto) , tuttavia ho cercato di spiegare (e questo è necessario per l'ultimo punto) che, ancora prima dell'impatto, il satellite inizia piano piano a girare attorno al suo centro a causa "dell'attrito" che le cariche incontrano dovuto alla resistenza del satellite mentre queste si spostano a causa dello spostamento della sferetta per mantenere il satellite equipotenziale (magari viene più facile immaginarlo da un punto di vista microscopico, "l'attrito" è dovuto agli urti delle cariche contro il reticolo cristallino del satellite conferendogli una piccola velocità angolare, d'altra parte la sferetta compie un ulteriore lavoro per spostare le cariche dovuto proprio alla resistenza conservando così sia il momento angolare sia l'energia complessiva, incluso il calore prodotto, del sistema). Quindi le situazioni che si vengono a creare per l'ultimo punto sono 2: o la sfera perdendo continuamente velocità mentre gira incontra il satellite, oppure (come mi ha fatto notare Bolzo) si stabilisce una situazione di equilibrio in cui il satellite gira con la stessa velocità angolare della congiungente i due centri (così le cariche non devono essere più spostate durante la rotazione della sferetta) e la sferetta ha sufficiente velocità per restare in orbita.
Tuttavia mi sta venendo in mente che quest'ultima situazione si può verificare solo per orbite circolari (se variasse la distanza dal satellite lungo un giro le cariche dovrebbero essere spostate e la sfera perderebbe ulteriore energia cinetica) e non so se siano possibili dato che la forza attrattiva e il potenziale sono molto "particolari".

In altre parole se si dissipa di più sul satellite -\rho alta- si dissipa meno nell'urto perchè l'Ec è minore avendo compiuto più lavoro nell'induzione e viceversa tanto da rendere costante e indipendente dalla resistività il calore dissipato.

Si è così, come un corpo che cade e si ferma sul pavimento, maggiore calore perde per attrito minore ne perderà nell'urto.

[Bolzo88]

Sicuramente il satellite dopo l'urto ruota attorno al suo centro e si conserva il momento angolare totale del sistema (e questo nel punto due bastava, non importa quanta velocità angolare avesse il satellite prima dell'urto la restante l'avrebbe acquisita con l'urto) , tuttavia ho cercato di spiegare (e questo è necessario per l'ultimo punto) che, ancora prima dell'impatto, il satellite inizia piano piano a girare attorno al suo centro a causa "dell'attrito" che le cariche incontrano dovuto alla resistenza del satellite mentre queste si spostano a causa dello spostamento della sferetta per mantenere il satellite equipotenziale (magari viene più facile immaginarlo da un punto di vista microscopico, "l'attrito" è dovuto agli urti delle cariche contro il reticolo cristallino del satellite conferendogli una piccola velocità angolare, d'altra parte la sferetta compie un ulteriore lavoro per spostare le cariche dovuto proprio alla resistenza conservando così sia il momento angolare sia l'energia complessiva, incluso il calore prodotto, del sistema). Quindi le situazioni che si vengono a creare per l'ultimo punto sono 2: o la sfera perdendo continuamente velocità mentre gira incontra il satellite, oppure (come mi ha fatto notare Bolzo) si stabilisce una situazione di equilibrio in cui il satellite gira con la stessa velocità angolare della congiungente i due centri (così le cariche non devono essere più spostate durante la rotazione della sferetta) e la sferetta ha sufficiente velocità per restare in orbita.
Tuttavia mi sta venendo in mente che quest'ultima situazione si può verificare solo per orbite circolari (se variasse la distanza dal satellite lungo un giro le cariche dovrebbero essere spostate e la sfera perderebbe ulteriore energia cinetica) e non so se siano possibili dato che la forza attrattiva e il potenziale sono molto "particolari".

In altre parole se si dissipa di più sul satellite -\rho alta- si dissipa meno nell'urto perchè l'Ec è minore avendo compiuto più lavoro nell'induzione e viceversa tanto da rendere costante e indipendente dalla resistività il calore dissipato.

Si è così, come un corpo che cade e si ferma sul pavimento, maggiore calore perde per attrito minore ne perderà nell'urto.

Sottoscrivo tutto.
Aggiungo una cosa: il fatto che il satellite possa venire messo in rotazione prima dell'urto implica effettivamente, come diceva modesto, che deve esserci stato un momento sul satellite, e quindi che la forza non era esattamente centrale. Ma questo puo' essere vero nel caso del satellite che gira, perche' la distribuzione di carica sul satellite rimane un po' indietro frenata dalla resistenza e quindi non e' esattamente allineata al satellite, facendo in modo che la forza non sia esattamente diretta lungo la congiungente dei centri delle stere.

[modesto]

sei d'accordo o no che il momento angolare della sfera rispetto al centro del satellite si debba conservare?

Assolutamente no la sfera deve spostare le cariche compiendo un lavoro (e questo non è dato semplicemente dalla variazione di energia potenziale proprio perchè è presente la resistività! se non fosse presente allora effettivamente il fatto che le cariche si spostino sarebbe compensato da una variazione di energia potenziale elettrica, ma in questo caso serve altro lavoro in più per compensare il calore dissipato per effetto joule dallo spostamento delle cariche) la cui forza non ha solo componente radiale ma anche tangenziale.

Allora l'mvd che tu metti nella relazione al momento dell'urto è già la somma di quello della sferetta e di quello del satellite ruotante. Non deve intendersi come momento angolare della sferetta e basta. Infatti tornerebbe con una diminuzione di momento della sferetta nel suo senso di rotazione e in un incremento della rotazione del satellite nel senso che è della sferetta. Ragioniamo: la sferetta genera un campo induttore verso il satellite che si propaga alla velocità della luce; il suo effetto è ritardato dalla resistività tanto che le cariche arrivano in ritardo su quella che "era" la congiungente i centri; questo determina una risultante (attrazione-repulsione interna al sistema) sulla sferetta che non è più centrale e che ha un momento che diminuisce il suo momento angolare dando luogo per reazione ad una rotazione del satellite nel senso che aveva la sferetta. MA LA LORO SOMMA E' SEMPRE mvd.
Tutto questo credo che varrà anche per il punto 4 in cui la sferetta perde energia per radiazione della carica accelerata. Ora questa accelerazione c'è anche nel punto 2. Perchè la possiamo trascurare? Perchè è una questione di evoluzione nei tempi lunghi richiesta nel punto 4. e non nel punto 2.?