Io la soluzione ce l'ho ma sono via e non ho un supporto comodo per scriverla qua. Al massimo posso spiegare come ho risolto il problema, ma per qualche giorno non riesco a scriverla bene.

Io aspetterei ci pensino gli altri, appena ho il via libera pubblico la mia soluzione

Può darsi che venga

Se sommi non ottieni nulla, devi sostituire.
Dalla (8) ottieni che A_{n-1}=A_n+\alpha_{n-1}+\alpha_{n} , quindi ora puoi prendere dalla (5) l'espressione \alpha_{n-1}=2A_{n-1}+2A_{n}+\alpha_{n} e sostituirla ottenendo la (9):

A_{n-1}=A_n+\underbrace{2A_{n-1}+2A_n+\alpha_n}_{=\alpha_{n-1}}+\alpha ...

Grazie mille per la soluzione dettagliata! Problema molto carino, forse più complicato dal punto di vista matematico che fisico ma comunque insegna molte cose sulla differenza tra rotolamento e scivolamento per esempio.

Cambiando la terza equazione come suggerito, otterrei che A=\frac{a}{3} . Ma non dovevano muoversi verso sinistra sti cilindri? :| Oppure me lo sono sognato io? Per quanto riguarda il caso con 4 cilindri, è giusto pensare che la forza d'attrito tra il cilindro ed il piano in alto abbia verso opposto ...

Io pensavo di imporre che il cilindro rotola rispetto alla trave che sta accelerando, quindi l'accelerazione "relativa" sarebbe . Cos'è che non va dei segni?

Allora, con queste indicazioni io ricaverei queste tre equazioni:

\begin{cases}
F=M \cdot A \\
F \cdot R=I \alpha=\frac{MR^2 \alpha}{2} \\
A-a=\alpha \cdot R
\end{cases}


Risolvendo il sistema, ottengo che A=-a , che potrebbe aver senso visto che significa che i cilindri ruotano verso sinistra ...

Penso di non essere in grado di risolverlo, aspetto che qualche buon'anima scriva la soluzione o dia dei consigli per cominciare!

Penso di avere una difficoltà di fondo nel capire il caso più banale, ovvero n=1...
Ecco quello che ho pensato: sicuramente i cilindri accelerano a sinistra a causa della forza d'attrito e inoltre l'accelerazione del centro di massa del sistema corrisponde all'accelerazione dei due cilindri ...