Per quanto riguarda invece il piano colorato di bianco e di nero, consideriamo un punto bianco P e un esagono S =A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 . Supponiamo per assurdo che non ci siano triangoli equilateri con vertici dello stesso colore.

Sicuramente S contiene almeno un punto bianco, wlog A_1 ...

Per quanto riguarda \cos (2\pi/5) , si può fare così.
Consideriamo una successione di polinomi T_n(x) tali che T_n(\cos \alpha ) = \cos (n\alpha) (polinomi di chebyshev).
Notiamo che T_0(x) \equiv 1, \ \ T_1(x) = x . Inoltre, dal fatto che (prostaferesi):
\cos (n+1) \alpha + \cos (n-1) \alpha = 2 ...